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LIFPF: TP2 récursion sur les listes

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Finir le TP1 avant de commencer ce TP.

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Le reste du TP consiste à travailler la récursion sur les listes. Comme dans le TP précédent, on prendra soin:

• de donner le type des arguments et le type de retour de chaque fonction;
• d'écrire le commentaire de description de la fonction avant d'écrire la fonction.

Remarque: ajouter un commentaire au-dessus de la fonction n'est pas la même chose que d'écrire le commentaire avant d'écrire la fonction. N'oubliez pas: vous écrivez avant tout ce commentaire pour vous aider à écrire la fonction et ensuite seulement pour la documenter.

On prendra également soin d'écrire des tests pour chaque fonction en écrivant des expressions du type ma_fonction valeur1 valeur2 = valeur attendue;; et en vérifiant avec l'interpréteur que ces tests s'évaluent à true.

1. Concaténations de listes

Dans cette partie on souhaite implémenter des fonctions qui vont concaténer des listes.

1.1 Concaténation de deux listes

Implémenter la fonction concatene qui prend deux int list et renvoie la liste constituée des éléments de la première suivis des éléments de la seconde.

Quelques exemples de tests (à compléter):

concatene [ 1; 2; 3 ] [ 4; 5; 6 ] = [ 1; 2; 3; 4; 5; 6 ];;
concatene [] [ 4; 5; 6 ] = [ 4; 5; 6 ];;

1.2 Concaténation (applatissement) d'une liste de liste

Implémenter la fonction applatit qui prend une (int list) list et renvoie la liste constituée de la concaténation des éléments de cette liste de liste. Cette fonction utilisera la fonction concatene codée auparavant.

Quelques exemples de tests (à compléter):

applatit [ [ 1; 2 ]; [ 3; 4; 5 ]; []; [ 6 ] ] = [ 1; 2; 3; 4; 5; 6 ];;
applatit [ [ 1 ] ] = [ 1 ];;

Faire une deuxième version applatit2 ayant la même spécification que applatit mais qui n'utilise pas concatene. Tester cette fonction avec les mêmes tests que applatit.

2. Retournement de liste

On souhaite implémenter une fonction renverse qui renverse une liste.

L'algorithme naïf pour faire une inversion de liste consiste à inverser la queue de liste et à concaténer la tête de liste à la fin de la queue renversée. Cet algorithme est cependant inefficace car il conduit à effectuer un nombre quadratique (en fonction de la taille de la liste initiale) d'ajouts en tête de liste à cause de l'opération de concaténation.

On veut donc implémenter un algorithme plus efficace qui ne fait qu'un nombre linéaire d'ajouts en tête de liste. Pour cela on code une version modifiée renverse_ajoute qui prend deux listes en argument et renvoie la première renversée concaténée à la seconde, par exemple

renverse_ajoute [ 1; 2; 3 ] [ 4; 5; 6 ] = [ 3; 2; 1; 4; 5; 6]

On remarque que les égalités suivantes sont vraies :

renverse_ajoute [ 1; 2; 3 ] [ 4; 5; 6 ]
= renverse_ajoute [ 2; 3 ] [ 1; 4; 5; 6 ]
= renverse_ajoute [ 3 ] [ 2; 1; 4; 5; 6 ]
= renverse_ajoute [] [ 3; 2; 1; 4; 5; 6 ]

On peut aussi remarquer que renverse peut se coder très facilement à partir de renverse_ajoute puisque renverse l = renverse_ajoute l [].

Coder renverse en définissant renverse_ajoute. Définir tout d'abord renverse_ajoute avant renverse et tester. Essayer ensuite d'intégrer la définition de renverse_ajoute à l'intérieur de celle de renverse via un let rec renverse_ajoute ... in ....

3. Tri par insersion

On code l'algorithme de tri par insertion qui consiste, pour chaque élément, à l'insérer à la bonne place dans le reste de la liste préalablement triée.

3.1 Insertion dans une liste triée

On commence donc par coder une fonction insertion qui insère un élément à la bonne position dans une liste triée par ordre croissant.

Quelques tests à compléter:

insertion 3 [ 1; 2; 4; 5 ] = [ 1; 2; 3; 4; 5 ];;
insertion 3 [ 1; 2; 3; 4; 5 ] = [ 1; 2; 3; 3; 4; 5 ];;

3.2 Tri

Coder la fonction tri_insertion en utilisant insertion.

Quelques tests à compléter:

tri_insertion [ 1; 4; 2; 3 ] = [ 1; 2; 3; 4 ];;
tri_insertion [ 1; 2; 3; 4 ] = [ 1; 2; 3; 4 ];;

4. Recherche dans une liste d'association

On rappelle qu'une liste d'association est une liste de paires (clé, valeur). L'opération principale sur les listes d'association est de chercher la valeur associée à une clé, si elle existe.

Dans cette question on considèrera que les clés sont de type int et les valeurs de type string.

4.1 Type résultat

Comme la clé n'est pas forcément présente dans la liste, on commence par créer un type somme resultat avec un constructeur représentant l'absence de valeur et un constructeur représentant le cas où une valeur a été trouvée. Pour cela il faut essentiellement se poser la question des données éventuellement associées à chaque constructeur, ainsi que de leur type.

4.2 Fonction de recherche

Coder la fonction cherche qui va chercher une clé dans une liste d'association et renvoyer la valeur associée lorsqu'elle existe et utilisant le type resultat.

Bien penser à écrire des tests pour cette fonction.

5. Calculatrice en notation polonaise

On souhaite implémenter une calculatrice en notation polonaise, c'est-à-dire calculant le résultat d'expressions dans lesquelles les opérateurs sont placés avant leur arguments. On donne quelques exemples dans le tableau suivant:

Notation habituelle	Notation polonaise
3 * 2	* 3 2
7 / 3	/ 7 3
(7 / 3) + 5	+ / 7 3 5
(3*2) - ((7/3) + 5)	- * 3 2 + / 7 3 5

On peut remarquer que cette notation permet de se passer de parenthèses.

Avant d'évaluer ce type d'expressions il faut pouvoir les représenter. On va donc se munir d'un type pour représenter les opérateurs, d'un type représentant les éléments d'expression (c'est-à-dire un opérateur ou un nombre):

type binop = Plus | Moins | Mult | Div
type elt_expr = Op of binop | Cst of int

De plus l'évaluation d'une expression peut mal se passer pour deux raisons: une division par zéro ou une expression mal construite. Par exemple + - 2 3 est mal construite car il manque un argument au +. On va donc créer un type pour représenter un résultat ou une erreur:

type resultat = Ok of int | ErrDivZero | ErrExpr

5.1 Évaluation des opérations

Afin de simplifier le code de l'évaluateur, on commence par créer une fonction eval_op qui va évaluer le résultat d'un opérateur appliqué à des valeurs. Comme il faut prendre en compte les erreurs de division par zéro, on renverra un resultat et pas un int. De plus comme cette fonction sera utilisée avec des arguments qui peuvent eux-même être obtenu via l'évaluation de d'autres expressions, on va prendre en argument des resultat et pas simplement des int. Si un résultat est une erreur, on renverra cette erreur au lieu d'effectuer le calcul. Ainsi le type de eval_op devra être binop -> resultat -> resultat -> resultat.

Quelques tests à compléter:

eval_op Plus (Ok 1) (Ok 2) = Ok 3;;
eval_op Moins (Ok 2) (Ok 3) = Ok (-1);;
eval_op Div (Ok 3) (Ok 0) = ErrDivZero;;
eval_op Div (Ok 5) ErrExpr = ErrExpr;;

5.2 Évaluation d'une suite d'expression

Une suite d'expressions est représentée par une liste d'éléments d'expression. On peut remarquer qu'une telle liste peut contenir plusieurs expressions, par exemple + 3 5 - 2 7, est représentée par [ Op Plus; Cst 3; Cst 5; Op Moins; Cst 2; Cst 7 ] et correspond aux deux expressions écrites habituellement 3+5 et 2-7.

On va coder une fonction eval_expr qui va évaluer une suite d'expressions et renvoyer une liste de résultats. Pour y arriver on peut faire les remarques suivantes:

• Il faut toujours évaluer le reste d'une suite d'expressions non vide.
• L'évaluation d'une constante est cette constante mais sous forme de résultat
• L'évaluation d'un opérateur binaire nécessite de récupérer le résultat des deux expressions suivantes, donc d'avoir déjà fait l'appel récursif pour évaluer le reste des expressions.
• Si l'appel récursif produit une liste de résultats contenant zéro ou un élément, il n'est pas possible d'évaluer un opérateur binaire. C'est le cas où l'expression est mal construite.

Quelques tests à compléter:

eval_expr [ Cst 3 ] = [ Ok 3 ];;
eval_expr [ Op Mult; Cst 3; Cst 2 ] = [ Ok 6 ];;
eval_expr [ Op Plus; Cst 3; Cst 5; Op Moins; Cst 2; Cst 7 ] = [ Ok 8; Ok (-5) ];;
eval_expr [ Op Plus; Op Div; Cst 7; Cst 3 ] = [ ErrExpr ];;